同时承认 "自然数" 和 "实数" 的公理体

http://www.mitbbs.com/article_t/Mathematics/31204909.html

发信人: l63 (l63), 信区: Mathematics
标  题: 我想问一下, 同时承认 "自然数" 和 "实数" 的公理体系, 会不会一定有矛盾?
发信站: BBS 未名空间站 (Wed May 29 08:38:23 2013, 美东)

哥德尔不完备性定理及其一众衍生的定理我不懂. 但是我大概知道说的是什么意思.

哥德尔说: 如果你承认 "自然数" 这个概念 (某种无穷可列的概念), 那么你的体系必
定不完备.

但是我又看到有人说了, "实数体系" 和 "复数体系" 的完备性, 是可以证明的.

我想问一下, 如果我有这么一个体系, 他承认 "自然数", 并且承认 "幂集" ( 于是 "
实数" 作为 "自然数" 的幂集出现), 这种体系会不会一定是有矛盾的?

我感觉我这猜想靠谱呀.

你看现在我其实在说这么一件事情:

1. 如果你只讨论形式逻辑和 "有限" 的概念, 那你的体系是相容的和完备的.

2. 如果你在你的讨论中加入 "自然数" 的概念, 那你体系必然不完备, 且不能自证其
相容性.

我现在就想说:

3. 如果你进一步承认 "幂集", (从而承认 "实数" 的概念), 那你体系必然是有矛盾的
.

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懂数学的给看看, 我这个 "3" 靠谱不? 谢谢...!
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